Pada subbab ini, konsep eksponen ditemukan
dengan mengamati beberapa masalah nyata berikut dan mencermati beberapa
alternatif penyelesaiannya. Tentu saja, kamu diminta untuk melakukan pemodelan
matematika yang melibatkan eksponen. Dari beberapa model matematika yang
diperoleh dari langkah-langkah penyelesaian masalah, kamu secara individu
menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan temanmu.
Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu menuliskan konsep eksponen dengan pemahamanmu
sendiri.
Alternatif Penyelesaian
Diketahui:
Satu bakteri membelah menjadi r bakteri
untuk setiap jam.
Jumlah bakteri pada akhir 3 jam
adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000
bakteri.
Ditanya:
a.
Berapa banyak bakteri sebagai hasil
pembelahan.
b.
Berapa jumlah bakteri pada akhir 8 jam.
Sebagai langkah awal buat tabel
laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam.
Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t
= 0) adalah x0. Isilah tabel berikut!
Pada akhir t jam
|
0
|
1
|
….
|
….
|
….
|
….
|
Jumlah bakteri (xt)
|
x0
|
r x0
|
….
|
….
|
….
|
….
|
Dari hasil pengamatan data
pada tabel di atas, kita dapat membuat hubungan pertumbuhan jumlah bakteri (xt)
tersebut terhadap perubahan waktu (t).
atau secara ringkas ditulis
Dengan t menyatakan banyak jam, x0
adalah jumlah bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri
setelah pembelahan terjadi pada setiap jam.
Pada
Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteri dan
setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusikan t = 3 dan t
= 5 ke formula (1) di atas, maka diperoleh x3 = r3x0
= 10.000 dan x5 = r5x0 =
40.000
Jadi peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri membelah menjadi 2 bakteri setiap 1 jam. Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke persamaan r3x0 = 10.000 sehingga 8x0 = 10.000. Dengan demikian x0 = 1.250.
Subtitusikan
x0 = 1.250 ke persamaan (1), pola pertumbuhan bakteri
tersebut dinyatakan
Pilih a = –2, dengan n >
m, pilih n = 3 dan m = 2. Apakah yang terjadi?
(–2)3 = (–2) × (–2) × (–2) =
–8
(–2)2 = (–2) × (–2) = 4
Dengan demikian,
an = –8 < 4 = am atau an <
am. Jadi, tidak benar bahwa an > am
bila a < 1 dan n > m. Jadi, syarat a adalah
bilangan real, dengan a > 1 dan n > m merupakan
syarat cukup untuk membuktikan an > am.
Contoh 1.3
Terapkan berbagai sifat bilangan
berpangkat untuk menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan
pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya!
Contoh 1.4
Buktikan bahwa jika a > 1
dan n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif,
maka an > am.
Bukti:
